U1-RA-1.2

Unidad 1

 

Resultado de aprendizaje 1.2 

Progresión 2

• Observa fenómenos caóticos y no caóticos para distinguir y entender características como la predictibilidad y la sensibilidad a las condiciones iniciales. Es posible comparar por ejemplo el comportamiento de un péndulo simple contra el comportamiento de un péndulo doble y analizar fenómenos físicos estudiados en CNEyT como los cuerpos en caída libre utilizando software (comportamiento no caótico) y fenómenos como la turbulencia o la caída de un cuerpo sobre superficies irregulares.

Fenómenos caóticos y no caóticos

 

 

Péndulo simple

El péndulo simple se compone de una masa, que se puede considerar puntual M, suspendida de un hilo de masa despreciable y longitud L; la masa gira libremente alrededor de su extremo superior. Para obtener la frecuencia de oscilación del péndulo aplicaremos el principio de conservación de la energía. Siguiendo la notación de la figura, la desviación se mide por el ángulo θ que forma el hilo con la vertical. Cuando el hilo se desvía en dicho ángulo, la masa se eleva una altura h.

h = L − L cos θ Periodo de oscilación T = 2π √(L / g) Donde: T es el periodo. L es la longitud del hilo. g es la aceleración de la gravedad, cuyo valor en la Tierra es 9.81 m/s².

Ejemplo Calcula el periodo de oscilación de un péndulo de .20 m de longitud. Solución Datos L = 0.20 m g = 9.81 m/s² Sustituimos los valores en la fórmula. T = 2π √(0.20 m / 9.81 m/s²) T = 0.89 s

Video

Proyectos de péndulo simple: grupos 402, 407, 408, 411

Ejercicios de Mandalas

 Actividades de aprendizaje.

• Elaborar un cuadro comparativo y denotar diferencias y semejanzas entre los fenómenos caóticos y no caóticos.

Fenómenos caóticos vs fenómenos no caóticos

1. Objetivo de la actividad

Organizados en equipos de 5 integrantes, deberán analizar y comparar las características principales de los fenómenos caóticos y fenómenos no caóticos, identificando sus semejanzas y diferencias, con el fin de comprender cómo se comportan los sistemas dinámicos en la naturaleza y en distintos campos de la ciencia.

2. Investigación previa

Antes de elaborar el cuadro comparativo, deberán investigar los siguientes conceptos:

Fenómenos caóticos

Investigar qué son los fenómenos caóticos dentro del campo de la Teoría del Caos.

Aspectos que deben revisar:

• Definición de caos en sistemas dinámicos
• Sensibilidad a condiciones iniciales
• Impredecibilidad a largo plazo
• Sistemas no lineales
• Ejemplos en la naturaleza

Ejemplos que pueden analizar:

• El clima
• El movimiento turbulento de fluidos
• El comportamiento de algunos circuitos eléctricos

Fenómenos no caóticos

Investigar sistemas que presentan comportamiento ordenado o predecible.

Aspectos a revisar:

• Sistemas lineales
• Regularidad en el comportamiento
• Predicción a largo plazo
• Relación proporcional entre variables

Ejemplos:

• Movimiento de un Péndulo simple con pequeñas oscilaciones
• Movimiento rectilíneo uniforme
• Órbitas planetarias aproximadas bajo leyes clásicas

3. Elaboración del cuadro comparativo

El cuadro comparativo debe realizarse en una tabla de tres columnas.

Criterio de comparación	Fenómenos caóticos	Fenómenos no caóticos
Definición
Tipo de sistema
Predictibilidad
Sensibilidad a condiciones iniciales
Comportamiento a largo plazo
Tipo de ecuaciones
Ejemplos

4. Criterios que deben analizarse en el cuadro

1. Definición

Explicar qué caracteriza a cada tipo de fenómeno.

2. Tipo de sistema

Indicar si el sistema es:

• lineal
• no lineal
• determinista
• dinámico

3. Predictibilidad

Analizar si es posible predecir el comportamiento del sistema a largo plazo.

4. Sensibilidad a condiciones iniciales

Explicar si pequeñas variaciones en los valores iniciales producen grandes cambios en el resultado.

Este concepto está relacionado con el Efecto mariposa.

5. Comportamiento a largo plazo

Describir si el sistema:

• tiende al equilibrio
• presenta patrones repetitivos
• genera trayectorias complejas o irregulares

6. Tipo de ecuaciones

Identificar si el fenómeno se describe mediante:

• ecuaciones lineales
• ecuaciones diferenciales no lineales
• sistemas dinámicos complejos

7. Ejemplos

Incluir al menos dos ejemplos reales de cada tipo de fenómeno.

5. Identificación de semejanzas

Después de completar la tabla, los estudiantes deben redactar un breve párrafo donde expliquen las semejanzas entre ambos fenómenos.

Algunas posibles semejanzas:

• Ambos pueden describirse mediante modelos matemáticos.
• Ambos obedecen leyes físicas.
• Ambos forman parte del estudio de los sistemas dinámicos.

6. Identificación de diferencias

Posteriormente deben escribir otro párrafo donde expliquen las diferencias principales.

Aspectos clave:

• Nivel de predictibilidad
• Sensibilidad a condiciones iniciales
• Complejidad del comportamiento

7. Presentación de la actividad

El trabajo debe incluir:

1. Portada
• Nombre del estudiante
• Asignatura
• Tema
• Fecha
2. Introducción
   Explicación breve sobre qué son los sistemas dinámicos.
3. Cuadro comparativo
4. Análisis de semejanzas
5. Análisis de diferencias
6. Conclusión
   Reflexión sobre la importancia de estudiar fenómenos caóticos en la ciencia y la ingeniería.
7. Bibliografía utilizada

8. Recomendaciones para la elaboración

✔ Utilizar lenguaje científico claro

✔ Incluir ejemplos reales

✔ Presentar la información de forma organizada

✔ Revisar ortografía y redacción

✔ Utilizar fuentes confiables de información y agregarlas en el documento.

Producto final esperado:

Entregar el documento o presentación electrónica con el cuadro comparativo completo acompañado de un análisis escrito, que permita comprender las características fundamentales de los fenómenos caóticos y no caóticos

• Describir las diferencias entre el comportamiento de un péndulo simple y un péndulo doble, así como los fenómenos de caída libre y turbulencia y presentar reporte. 
• Elaborar un mapa cognitivo de nubes donde explique las funciones lineales y no lineales y su aplicación en la dinámica de poblaciones.

Simulador cuerpos en caída libre

Calculadora en línea para problemas de cuerpos en caída libre

Progresión 3 

• Analiza funciones lineales y no lineales en el contexto de la modelación de fenómenos de interés, como la dinámica de poblaciones, e incorpora las nociones de órbita, periodo y comportamiento caótico. Cuando analiza sistemas dinámicos discretos considera la conjetura de Collatz, para observar que la matemática es una ciencia viva que en ocasiones emplea la computación para generar evidencia a favor de ciertas afirmaciones.

Ejemplos de expresiones en lenguaje natural y su correspondiente en lenguaje algebraico.

Ejercicio.

 

 Conjetura de Collatz

 

 

Enlace a calculadora de conjetura de Collatz 

 Actividad de Cierre de la Progresión 3

 

 

 

Actividades de aprendizaje

• Utilizar un software sencillo para generar secuencias de Collatz para diferentes números iniciales, elaborar con esta información un cuadro de resultados.
• Presentar problemas específicos que involucren funciones lineales y no lineales en la dinámica de poblaciones. Los problemas deben requerir el cálculo de órbitas, periodos y la identificación de comportamientos caóticos.